Representación matricial

Es posible expresar cada una de las transformaciones básicas en la forma de matriz general con las posiciones de coordenadas P y P’ representadas como columnas de vector. La matriz M1 es una matriz de 2 por 2 que contiene factores de multiplicación y M2 es una matriz de columnas de dos elementos que contiene términos de traslación.

Para la traslación, M1 es la matriz de identidad. Para la rotación o la escalación M2 contiene los términos de traslación asociados con el punto pivote o el punto fijo de escalación. Podemos combinar los términos de multiplicación y de adición para transformaciones geométricas bidimensionales en una sola representación de matriz al ampliar las representaciones de matriz de 2 por 2 a matrices de 3 por 3. Esto nos permite expresar todas las ecuaciones de matriz como multiplicaciones de matriz, si también ampliamos las representaciones de matriz para las posiciones de coordenadas. Para expresar cualquier transformación bidimensional como una multiplicación de matriz, representamos cada posición de coordenadas cartesianas (x, y) con las tres coordenadas homogéneas (xh, yh, h), donde Por tanto, una representación general de coordenadas homogéneas se puede expresar también como (h*x, h*y, h). Para transformaciones geométricas bidimensionales, seleccionamos el parámetro homogéneo h como cualquier valor no cero. Así, existe un número finito de representaciones homogéneas equivalentes para cada punto de coordenadas (x, y). Expresar posiciones en coordenadas homogéneas nos permite representar todas las ecuaciones de transformación geométrica como multiplicaciones de matriz. Se representan las coordenadas con vectores de columna de tres elementos y las operaciones de transformación se expresan como matrices de 3 por 3. Para la traslación tenemos que podemos expresar en forma abreviada con T(tx, ty) como la matriz de traslación 3 por 3. Se obtiene el inverso de la matriz de traslación al reemplazar los parámetros de traslación tx y ty con sus valores negativos -tx y -ty.

De modo similar, ahora se expresan las ecuaciones de transformación de rotación respecto al origen de las coordenadas como El operador de transformación de rotación R("theta") es la matriz de 3 por 3 con el parámetro de rotación "theta". Obtenemos la matriz de rotación inversa cuando se sustituye ? con -?. Por último, ahora se expresa una transformación de escalación con respecto del origen de las coordenadas como la multiplicación de matriz: o donde S(Sx, Sy) es la matriz de 3 por 3 en la ecuación 2.21 con los parámetros Sx y Sy. Al sustituir sus inversos multiplicativos (1/sx y 1/sy) se obtiene la matriz de escalación inversa.

Representacion

Conclución

Una solución más óptima para la manipulación de imágenes es a través de matrices, aunque esto es más complejo, hablando del procesado de una matriz. En la práctica en cálculo vectorial se demostró que es más fácil y sencillo utilizar matrices para hacer las transportaciones de los vectores. Aplicando lo anterior a una imagen en 3D, ofrece las mismas ventajas que en una representación a lápiz y papel en 3D.

Bibliografía

ttp://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/mcc/cruz_m_ia/capitulo3.pdf
http://www.xtec.cat/~rgonzal1/espacio02.pdf